享受萃英学院的讲台

杨孔庆 教授

兰州大学萃英学院已经走过了成功的十年历程，培养出了数以百计的优秀萃英学子，值得我们热烈祝贺！

一个学校、一个学院所培养的学生的质量最终是由其师资队伍所决定的。只有优秀的教师才能培养出更优秀的学生，萃英学院一直遵从这个教育理念。由于兰州大学地处西北经济欠发达地区，能否聘请到全国一流的教师，仍需努力。

我在萃英的讲台上已经有五个春秋，兰州大学的萃英学子让我感触很深，在当今价值多元化，以金钱衡量自我价值的风向下，在西北黄土高原上仍然有一批对基础理论知识孜孜以求的莘莘学子们，是难能可贵的。由于自己一直从事数学物理方面的科研和教学工作，在萃英学院承担的教学任务也是讲授物理学专业的数学基础，这些课程的基本内容多数是经典的数学基础。几十年的教学生涯告诉我，经典的知识点是“死的”，但教学的内容是“活的”，相同的知识点对不同的学生，讲授的方法是很不一样的。教师不是一本教材的“复读机”，也不仅是把公式的推导、演算过程做给学生看，而是要把自己对知识点是如何理解的讲授给学生，与学生共同来理解和探讨这些知识点及其延伸的问题。如何深入浅出地讲解抽象的数学内容，对不同层次学生的讲法是很不一样的。在我的教学生涯中，我愿意抛砖引玉，把自己对物理和数学的肤浅的思考与理解和学生共同切磋、探索对物理学基础知识的学习与研究的真谛。

在我第一次接受萃英学院的教学任务时，面对有较好的高等数学和大学物理基础、且求知欲旺盛的物理专业的萃英学子，用什么样的教学形式组织教学，教学内容如何选取，如何讲授好数学物理方法课程使学生有较大的收益，我作为这门课程教师必须回答的问题。

在考虑如何讲授这门课时，考虑到这是一门为学生今后学习物理专业基础课打好数学基础的课程，由于知识点的内容较多和学时安排的关系，同时考虑到介绍抽象的数学与物理背景的阐述过程能使学生思维紧扣内容的推演，采取以课堂板书讲授的方式（如果采取翻转课堂的教学形式，学生在课前要花很多时间做好充分准备，可能在时间安排上有问题，这种形式可以放在课外来做），辅以课外学生自愿组织的专题讨论的形式加深对某些问题的理解。

在教学过程中，除了认真备好每一节课的内容，还要想想这些学生可能在哪些问题上会产生疑惑，对哪些知识点要做必要的拓宽加深引导，这些都是要提前思考的。例如，在开始的线性空间与线性算子的内容讲授中，对于学生都习以为常的三维欧氏空间中的标量场和向量场的概念，我问大家一个问题：为什么向量场和笛卡尔坐标系可以画在同一个坐标系中？同学们的回答五花八门，再顺着他们的回答进行追问，都不能给出令他们自己信服的结论。我详细剖析了同学们答案存在的问题，反映了他们平时对“貌似”直观的基本概念缺乏深入地思考。我采用映射的观点讲述了标量场和向量场的概念，用“同构”的概念讲述了三维欧氏空间的坐标空间与向量空间的同构关系，说明了为什么这两个空间的图像可以画在同一个图上，让同学们清楚地认识到，空间中的三根坐标轴对这两个同构的空间有着不同的含义。在此基础上介绍了纤维丛的基本概念和几何图像，给出了标量场是三维欧氏空间中的线丛的截面；向量场是向量丛的截面，且光滑的截面是可微的向量场。这样的讲解给出了这两个大家都非常熟悉的概念的清晰的几何图像。通过这个例子使同学们认识到，对基本概念的深入理解非常重要，对科学的思维方法有了进一步的提高。

在本课程的教学过程中，要让学生有个明确的理念：几何学中的几何量和几何定理是不依赖于坐标系的选择的；同样的，物理学中的物理规律也是不依赖于坐标系的选择的。正是这个共同的特性，可以把物理学和几何学联系在一起，可以用几何学来描述物理学的规律。在介绍用“度量”来描述曲线坐标系中的“梯度”、“散度”和“旋度”等概念时，引申介绍了“平直空间”和“弯曲空间”的本质区别，进而简单地介绍了黎曼几何的度量及爱因斯坦引力理论的几何化的概念。课下，对微分几何有兴趣的同学让我介绍有关的微分几何的书籍，他们经常带着从网上搜索到的电子版的和网购来的几何书籍，问我问题、并和我一起讨论。在讲授数学物理方程时，首先让学生了解数学建模的基本思想，如何把实际问题的物理过程抽象成我们现在可解的线性数学模型，要他们学会估计所建立线性数学模型与实际问题的物理过程的误差有多大，是否可以用来描述实际的物理过程。在讲述波动方程时，我问同学们：如果波速不是常数，而是空间点的变量时，你们将用什么方法来求解？在此基础上，介绍了物理学中的一些“反问题”，简单地介绍了CT的基本物理思想和数学概念。在讲授课程中知识点的同时，我很注意适时地拓展学生的知识面，尽量把自己科研中涉及到这门课程中的数学方法的内容穿插在教学中，适当介绍一点非线性方程的知识,使学生认识线性与非线性方程本质上的不同，并使学生对于非线性方程的前沿研究有初步的了解，这样可激发学生学习与思考的积极性。

这些年来，在萃英学院授课的过程中，我感受到萃英学子们刻苦勤奋学习的精神，他们不满足于课堂讲授或是教材上的内容，总是去追根溯源弄清楚问题的来龙去脉，提出各种各样的问题和想法，也促使我对整个课程内容的再学习，在一些问题上，要求我进一步深入学习，增加自己的知识储备，以解答学生的疑惑，也提高自己的知识水平，真正做到“教学相长”。

这几年里，无论是在萃英学院的讲台上，还是在萃英学院的自习大厅的课桌旁或休息区的沙发上，他们不单问我课程内的问题，也问我这门课程背后的问题，甚至问我远离课程的物理和数学问题；当我在黑板上推导写错数学符号时，他们会马上指出问题；在课堂教学中，在给学生的答疑和讨论中，此类例子枚不胜举。我感触颇深，在这样的学生面前，还能有什么样的困难能阻挡他们学习前进的步伐。

我回想起上世纪九十年代末在兰大“211”工程的验收会上，教育部验收组副组长龚昌德院士所指出的：像兰州大学这样，把入学是二流的学生培养成一流和一点五流的学生，这才是最难最难的啊！

是的，正因为兰州大学的校风与学风，造就了“萃英”这个平台上，在这个平台上乃至整个兰州大学，造就了一批批国家需要的科研工作者和建设者，他们默默地为祖国的强大铺砖添瓦。

站在萃英学院的讲台上，站在兰大的讲台上，是一种享受，是夕照下人生莫大的欣慰。

                                                                                          2020年8月

杨孔庆教授1945年10月出生，1963年由厦门市第二中学考入北京大学无线电电子学系，1969年毕业，1978年考上兰州大学物理系理论物理专业研究生，1982年元月毕业并获硕士学位，后留校任教。1986年考上兰州大学物理系在职博士研究生，1988年被国家教委选派为第一批中美联合培养博士生赴美国Syracuse大学物理系留学，并完成博士论文，于1990年回国，获博士学位。后为兰州大学物理系教授，博士生导师，享受国务院颁发的政府特殊津贴。曾任教育部教学指导委员会物理专业分委员会委员，兰州大学物理科学与技术学院院长，集美大学学术委员会副主任，全国数学物理方法研究会副主任委员。曾两次获全国普通高校教学优秀成果二等奖；宝钢教育基金教师奖；福建省教学名师；福建省师德标兵。在科研上，他从事应用数学物理方面的研究，主持过国家自然科学基金项目，国家自然科学基金重大项目和中国科学院知识创新工程重大项目油气资源研究项目子课题。他在理论研究方面的科研成果在国内外著名的学术刊物如“物理评论快报”(Phys. Rev. Lett.)，“物理评论”(Phys. Rev. E)、“物理快报”(Phys. Lett. A)、“欧洲物理快报”（Euro. Phys. Lett.）,中国的“物理学报”、“中国物理快报”等共发表论文50余篇。